表面に電荷が一様に分布している半径R の球がz 方向に一定の速度v で運動しているときの電磁エネルギーの移動について考えます。まず、この球が空間に作る電場のエネルギーは、

です。前回の球対称な電場の作るポインティングベクトルの計算式、

を使ってz 方向のエネルギーの流れを計算すると、

となります。この結果は（１−１）式であらわされる電場のエネルギーが速度v で伝播すると考えたときより、

だけ余分なエネルギーの流れがあることになります。
この余分なエネルギーが何であるかというのが今回の問題です。

　2．球の内部におけるエネルギーの流れ
前回述べたようにポインティングベクトルは単位体積中の電磁場のエネルギー Ｕ、マックスウェルの応力テンソルＴ を使って

とかけます。今回の問題では電場は球内に存在しないのでポインティングベクトルは球の表面に沿って流れます。
これを次のように二つのエネルギーの流れに分にわけ考えることにします。

S⁽¹⁾は電場のエネルギーが速度 v で移動していることを表していますので直感的なイメージと合致した流れになっています。ただしこの流れは球表面で不連続に変化します。球表面の単位法線ベクトルをnとしてS⁽¹⁾ との内積をとると次のようになります。

ここにθ は法線ベクトルv と速度 とがなす角であり、この量は球表面からのエネルギーの単位面積あたりの流出量をあらわしています。
同様にnとS⁽²⁾ との内積をとると次のようになります。

したがって球表面において、

が成立していることが分かります。
エネルギーの流れS⁽²⁾ だけに着目すると、この流れは一定のエネルギー密度U が球の進行方向から球に流入し反対面から流失していることが分かります。ただし球内部ではこの流れがなくなるように表面で不連続に変化します。
ここで仮に球表面でこのエネルギーの流れが連続するように球内部にも、

のエネルギーの流れがあるものと考えると、球内部で、

のエネルギーの流れがあることになり、これで余分なエネルギーの流れはキャンセルされます。しかし実際には球の中には電磁場はなくこのような電磁エネルギーの流れもありません。それでは何がこの余分なエネルギーの流れをキャンセルさせているのでしょうか。
実は帯電した球には電荷どうしの反発力によって内部に機械的な応力が生じています。球面単位面積あたりの表面力は、

ですからこの球の内部が均質な物質で出来ているとすれば内部応力は、

となります。このような応力を持った物体が速度v で運動した場合、前回、連続体中のエネルギーの移動で述べたように、単位面積あたりのエネルギーの流れp は、

となります。ここで物体の持つ単位体積あたりのエネルギーU _mが表面電荷の影響で変化しないとすれば、電荷による応力によって新たに生ずる球内のエネルギーの流れは単位体積あたり、

となります。したがって球内部のエネルギーの流れは進行方向に次のようになります。

このエネルギーの流れと電磁エネルギーの流れとの和はちょうどuv になるので、球内部のこの応力によるエネルギーの流れを含めて考えれば余分なエネルギーの流れがキャンセルされることになります。
したがってS⁽²⁾に（２−１０）式の右辺第２項を追加したエネルギーの流れ、

は球の境界でも連続しており次の関係をみたしていることが分かります。

帯電した球の運動にともなう電磁エネルギーの流れを議論してきた中でこのような非電磁的な応力が出てくるのは奇異に感じますが、その昔、電子のモデルにおいてポアンカレが導入したポアンカレ応力に対応していると考えられます。

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ここに

は誘電体の単位体積の熱力学ポテンシャルで単位体積の自由エネルギーF と、

の関係にあります。またρは誘電体の密度で微分は温度T と電場E を一定にして行います。
一方、誘電体を電気双極子の集合体とみなした場合の電磁応力テンソルは、

となります。
ここで、（１−１）式と（１−３）式を比較することによって誘電体の性質について議論したいと思います。
ここで取り扱う誘電体としては誘電率が温度と、密度のみの関数である線形誘電体を考えると、熱力学ポテンシャルは次のようになります。

F₀は電場がないときの単位体積あたりの自由エネルギーです。この式を（１−１）式に代入すると次のようになります。

ただし、P₀は、

であり、電場が存在せず、密度と温度が与えられたときの媒質の圧力をあらわしています。
したがって、電磁力のみを問題とする場合（１−５）式は次のようになります。

この式が（１−３）式と一致するためには次の関係が成立する必要があります。

これを解くと、c を密度によらない定数として次の誘電率の密度依存性が求まります。

また電気分極Pをもとめると、

となり、誘電体を電気双極子の集合体とみなした場合は分極が密度と電場に比例することになります。
次に磁性体について考えます。流動性磁性体に関してはランダウ＝リフシッツの教科書⁽¹⁾
に次の応力テンソルから計算できることが示されています。

ここに

は磁性体の単位体積の熱力学ポテンシャルで単位体積の自由エネルギーF と、

の関係にあります。
一方、誘電体を磁気双極子の集合体とみなした場合の電磁応力テンソルは、

となります。ここで誘電体の場合と同様に、（１−１０）式と（１−１２）式を比較することによって磁性体の性質について議論したいと思います。
ここで取り扱う磁性体としては透磁率が温度と、密度のみの関数である線形磁性体を考えると、熱力学ポテンシャルは次のようになります。

F₀は磁場がないときの単位体積あたりの自由エネルギーです。この式を（１−１０）式に代入すると次のようになります。

ただし、P₀は電場のときと同様に磁場が存在せず、密度と温度が与えられたときの媒質の圧力です。したがって、電磁力のみを問題とする場合この式は次のようになります。

この式が（１−１２）式と一致するためには次の関係が成立する必要があります。

ところで、

ですから、これより、μ に間する次の微分方程式が得られます 。

変形すると、

となるので、c を密度によらない定数として次のように透磁率の密度依存性が決まります。

これより磁化ベクトルMは、

となります。磁束密度であらわせば、

となり、磁性体を磁気双極子の集合体とみなした場合は磁化ベクトルが密度と磁束密度に比例することになります。

　2．双極子によるモデル化と現実の物質
誘電体を電気双極子の集合体とした場合と、磁性体を磁気双極子の集合体としてあらわした場合、電気分極Pおよび磁化ベクトルMは（１−９）式、（１−２０）式であらわされることが分かりました。改めてかくと、

です。この結果は電気双極子または磁気双極子が弱い電磁場の中であたかも気体分子のよう自由に運動しており互いに衝突しながら熱的に平衡な状態にあると考えれば納得のいくことです。この場合、分極や磁化が電場や磁束密度に比例することになり、また密度は単位体積中の双極子の数に比例しており分極や磁化がこれと比例します。
このことより双極子モデルによる電磁力は、物質が純粋にマクロな電磁場からの力のみを受けるとした場合の電磁力をあらわしているものと思われます。
もちろん現実の誘電体や磁性体ではこのようにマクロな電磁場からだけではなくミクロな電磁場による力も受けるために（２−１）式や（２−２）式は成立しません。
特別な例をもう一つあげます。これは流体が非圧縮性であり密度の変化がない場合です。このときは（１−６）式や（１−１５）式の密度による微分項が消えるため応力テンソルはそれぞれ次のようになります。

自由に動ける誘電性流体や磁性流体内部で電極や磁極をゆっくりと動かした場合は、ほぼ密度変化はないのでこれらの式によって電極や磁極に働く力が計算できます。

参考文献
（１）ランダウ＝リフシッツ：理論物理学教程電磁気学１、東京図書株式会社(1982)

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ここに、分極ベクトルP 、磁化ベクトルM、真空の誘電率と透磁率ε₀μ₀です。
これらの場の間には物質中のマックスウェルの方程式、

が成り立っています。この方程式を見ると４種類の場以外に、電流密度J、電荷密度ρがあります。つまりこの方程式では電流と電荷以外は全て場として表現されていることが分かります。
このような表現は誘電体や磁性体などを真空と同じく電磁場の媒体であるという考え方に基づいたものです。真空の誘電率や透磁率という表現もこのような考えによる名称であると思われます。
ここでは誘電体や磁性体のもつ分極や磁化を物質の属性として、場とは区別して表現したいと思います。そこで、（１−１）式を使って方程式をかきかえると次のようになります。

これらの方程式では左辺に場の量、右辺に物質に関する量をもってきており、場に関してはE Bだけが使われています。
同様に（１−１）式を使うと次のようにE Hを使った表現でかくこともできます。

これらの方程式は表現を変えているだけなのでもちろん（１−２）式と同じ方程式です。しかしこれらの方程式を使って次に述べるような保存則を導いた場合、その物理的な意味が異なってきます。

　2．エネルギー保存則の異なった表現
ここで次のベクトル場に関する恒等式を考えます。

このベクトルFに電場E、ベクトルGに磁束密度を真空の透磁率でわったB/μ₀を代入すると次のようになります。」

（１−３）式を使って右辺を変形すれば、

となるので次の関係式が得られます。

次に、ベクトルにF G 電場E 磁場H を代入すると次のようになります。

この右辺を（１−４）式を使って変形すれば、

となるので次の関係式が得られます。

（２−２）式と（２−３）式は表現はちがっていますがどちらも物質中のマックスウェル方程式から導かれたものなので正しい式です。
これらの式は次の形の保存則をあらわしています。

（２−２）式の場合、この式にあらわれる量をU ₁W ₁p ₁とかくと、

（２−３）式の場合、これらに対応する量をU ₂W ₂p ₂とかくと、

となります。
これらの量をみると、U は電磁場が単位体積中にもつエネルギー、W は電磁場が単位時間に物質に与えるエネルギー、pは単位面積あたりを通過する電磁場のエネルギーをあらわしているように思われます。この場合（２−４）式はエネルギー保存則となります。
問題はエネルギー保存則にこのような二つの表現が存在することです。これらの量が（２−４）式のような保存則をみたしていることは間違いないのですがここでいったような解釈ができるかどうかはまた別の話です。
そこでこれらの量にどのような物理的意味を待たすことができるかを調べたいと思います。

　3．無限長ソレノイドと磁石
z 方向に無限に長いソレノイドコイルを考えます。ソレノイドの断面は一辺の長さa がの正方形であり、頂点の座標をx y 平面で（０，０）（a，０）（a，a）（０，a）とし、z 方向の単位長さ当たりに流れる電流をI とします。
このときソレノイド内の磁場と磁束密度は、

となります。
ここでこのソレノイドが一様なy 方向の電場E の中に置かれているとします。（２−５）式と（２−６）式では次のようにソレノイド内でx 方向のエネルギーの流れができることになります。

この場合はどちらも同じ結果になっています。電流はコイルを上からみて右側（x = a）では電場からz 方向に単位長さあたりaEI のエネルギーをもらい、このエネルギーを左側（x = 0）まで運びそこでaEI のエネルギーを電場に与えるという循環が出来ておりどちらもエネルギー保存則をあらわしていると考えることが出来ます。
それではこのソレノイドコイルのかわりに無限に長い磁石を置いた場合はどうでしょうか。
磁石の断面はソレノイドと同じく一辺がa の正方形とし、z 方向に一様な磁化I を持っているものとます。このときこの磁石のなかの磁束密度と磁場は次のようになります。

この磁石がソレノイドのときと同様に一様なy 方向の電場E の中に置かれているとします。このときこの磁石内で（２−５）式と（２−６）式では次のようなx 方向のエネルギーの流れができることになります。

明らかに両者は異なった結果となります。どう考えたらよいのでしょうか。
ソレノイドコイルの場合左から右へと運ばれたエネルギーは、電流に与えられて左側に還流していました。磁石の場合これにあたる機構はあるのでしょうか。
ここで、（２−５）式をみるとWを表す式の中に不思議な項があることに気づきます。

これは磁石を電場の中に置くと電場が磁化にエネルギーを与えることを示しています。磁石の磁化は電場の中においても変化しませんのでこれにより発熱や吸熱がおこることになりますが現実にはそのようなことはありません。したがって（２−５）式をエネルギー保存則に対応させて考えるには無理があるように思われます。
そこでこの項を次のように変形します。

ただし最後の変形には（１−３）式を使っています。これより（２−２）式の右辺は、

となるので、（２−２）式は次のようになります。

ただし、磁場Hは（１−１）式によって磁束密度Bで表現されたものです。
これより、（２−４）式のかたちにかけば、式にあらわれる量をU ₃W ₃p ₃とかくと、

となります。ここでU ₃は前回のU ₁となりますが、電磁エネルギーの流れp₃はp₂と一致しており先ほどの磁石内のエネルギーの流れについても不自然なものは出てきません。
それでは電磁場のエネルギーに関する表現としては（２−６）式と（３−６）式ではどちらが正しいのでしょうか。これについては荒っぽい言い方をすればどちらでも良いように思われます。つまり電磁場の変数としてE Bを使っているときは（３−６）の定義が便利であるし、E Hを使っている場合は（２−６）式の定義が便利ということです。

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を示しました。すなわちマクロな電束密度は誘電体の分極に関係した量であり、ミクロな電束密度の単純な平均ではないということです。
今回は誘電体を電気双極子の集まりとみなしミクロな電場の平均がマクロな電場になることを具体的に確かめ、マクロな電束密度がミクロな電場とどのような関係にあるかを調べたいと思います。

　2．誘電体の電気双極子モデル
平行な平面電極にはさまれた誘電体内部の電場について考えます。これらの電極面はxy面に平行であり、電極間の距離H 電位差をV とすれば、電極間には方向の一様な電場、

ができます。ここでは下の電極の方が高い電位をもっているとし電場の向きは下から上とします。
誘電体を電気双極子の集まりとしてモデル化します。電気双極子としては帯電した円柱状の剛体の絶縁体を考えます。
円柱は全て同じ形状であり円の面積s 高さh 、両面に電荷q 、-q が一様に分布しているものとします。
また、これらの円柱はすべて単位体積あたりn 個あり、中心位置は固定されているが自由に回転できるようになっているとします。
ここに上の電場がかかるとこれらの円柱の方向は全てそろい上面に電荷q 下面に電荷-q となりこれらの電荷の作る
電場によってミクロな電場が決定されます。
この電場は電気双極子の付近でいろいろな方向を向きますが平均するとz 成分しかもたないことはすぐ分かります。
そこでこの電場のz 成分をe とかき次のようにして平均をとります。

ここに、S は平均をとる電極の面積で、下の電極のz 座標をゼロとしています。
この積分内のz 方向の積分はxy 面のどこであっても電極間の電位差V となるので積分は簡単に実行できて次のようになります。

これからミクロな電場の平均がマクロな電場と一致していることが確認できました。
ここで積分が簡単に出来たのは電極間の電位差が決まっていたからであり、
電場e の分布は電気双極子付近で大きく変化しています。
正電極を含む小領域 Vの表面Sで電場の法線成分を積分すると、

となります。これに真空の誘電率ε0 をかけたものが電束ですから、正の電極から発生する電束はqとなり、
この電束が最終的に負の電極で吸収されます。ミクロな電束密度は、

ですが、ここで電気双極子内部に負の電極で消滅した電束を正の電極に戻すような電束を追加して新たにミクロな場d’を導入します。
この場は双極子外部ではミクロな電束密度に一致しますが双極子内部では、負の電極から正の電極に向かう電束qが加算されているためこれを電極の面積sで割った電束密度の分異なり、

となります。この右辺第２項は電気双極子モーメントを双極子の体積で割ったものとなっています。
これよりこの式を単位体積で体積積分すれば場の平均が求まり次のようになります。

ただし Pは単位体積当たりの電気双極子モーメントです。

ここでは誘電体を電気双極子の集合体としてモデル化したので、（２−３）式を使うと上式は、

となりマクロな電束密度と一致します。
もう少し一般的にいうと、今回（２−６）式で導入したミクロな場は電束の湧き出しも吸い込みもなく次の方程式を満たします。

このような性質は誘電体内部のマクロな電束密度と同じです。
結果をまとめますと次のようになります。
（１）ミクロな電場の平均がマクロな電場である。
（２）ミクロな電束密度に発散がゼロとなるように電気双極子内部のみに修正を加えて平均したものがマクロな電束密度である。

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を示しました。すなわちマクロな磁場は磁性体の磁化に関係した量であり、ミクロな磁場の単純な平均ではないということです。
今回は磁性体を磁気双極子の集まりとみなしミクロな磁束密度の平均がマクロな磁束密度になることを具体的に確かめ、マクロな磁場がミクロな磁場や磁束密度とどのような関係にあるかを調べたいと思います。

　2．磁性体の磁気双極子モデル
無限に長いソレノイドコイル内の磁性体内部の磁場について考えます。このコイルの中心線がz 軸と一致するように座標系を決めます。コイル断面はz 座標がどこでも同じ形状で面積S とし、コイルには単位長さあたりI の電流が流れているものとします。
このときコイル内の磁性体には、

の磁場ができます。ここでは磁場の向きは下から上とします。
磁性体を磁気双極子の集まりとしてモデル化します。磁気双極子としては環状電流が流れている円柱状の剛体を考えます。円柱は全て同じ形状であり円の面積s 高さh 、円柱の側面に大きさi の環状電流が一様に流れているものとします。また、これらの円柱はすべて単位体積あたりn 個あり、中心位置は固定されているが自由に回転できるようになっているとします。
ここに上の磁場がかかるとこれらの円柱の方向は全てそろい上面にN極下面にS極となりこれらの側面電流の作る磁束密度によってミクロな磁束密度が決定されます。
この磁束密度は磁気双極子の付近でいろいろな方向を向きますが平均するとz 成分しかもたないことはすぐ分かります。そこでこの磁場のz 成分をh とかき次のようにして単位長さあたりの平均をとります。

この積分内のz 方向の積分路は円柱の中も通過します。この磁気双極子は単位体積あたりn 個ありますので平均するとns 個の円柱内を通ることになります。したがって円柱側面の電流を考慮するとこの積分は次のようになります。

単位体積あたりの磁気双極子の磁気モーメントをM とすれば、

となりますので、（２−２）式の積分は次のようになります。

この式はミクロな磁束密度を使って次のようにかきなおすことができます。

これからミクロな磁束密度の平均がマクロな磁束蜜度と一致していることが確認できました。
それではマクロな磁場H は何に対応するのでしょうか。（２−２）式のz 方向の積分路を少し変形させて磁気双極子の円柱内部にはいらないように迂回するようにすれば、

となります。ここで積分路C はほとんどがz 方向であるが円柱にはいらないように円柱底面から側面に迂回し、上面で再び元のz 方向の積分路に戻るものを考えます。したがって積分路がz 方向とは限らないので積分は線積分としています。
ここで電気双極子の場合と同様に磁気双極子が単位体積中に占める割合nsh が非常に小さいとしますとこのう回路部分の積分は無視できるほど小さくなります。
したがってこの線積分は磁気双極子外部だけを積分したものとなりこの積分を使うと（２−２）式の平均は磁気双極子外部の平均となり、

となります。
今回磁性体を磁気双極子の集まりとしてモデル化してミクロな磁束密度とマクロな磁場や磁束密度との関係を見てきましたが、結果をまとめますと次のようになります。
（１）ミクロな磁束密度の平均がマクロな磁束密度である。
（２）ミクロな磁場を磁気双極子外部だけで平均したものがマクロな磁場である。
つまり磁束密度B と磁場H との違いは、ミクロな磁束密度の平均のとり方による違いということになります。

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