本ページでは、励磁コイルの電流オフに伴って導体内部で発生する過渡渦電流の挙動を解析し、その時間推移を可視化します。

解析対象は、貫通穴の側面に欠陥を有するアルミ導体と励磁用の円形コイルで、寸法は Teams Workshop Problem 27※を参考にしています。
※https://www.compumag.org/wp/team/

解析モデルの外観およびアルミ導体と励磁コイルの位置関係を図1‑1に示します。導体内部の様子が分かるように 1/2 モデルとし、計算時間短縮の観点から解析も 1/2 モデルで実施しました。

本例題では、時間変化する渦電流分布を解析するために、動磁場解析ソフトウェア PHOTO‑EDDY を使用しました。PHOTO‑EDDY は、過渡的な磁場解析に適したソフトウェアです。

図2-1にメッシュ分割図を示します。有限要素法を利用した磁場解析で必須となる空気メッシュも含めて、図示しています。

図2-2は、空気メッシュを非表示にした解析対象のメッシュ分割図です。本事例では、表面に集中する渦電流を解析するため、表皮層メッシュを設けています。

解析条件

電流値は、素線1本あたりの電流値1.5[A]×巻き数445[Turns]から667.5[AT]としました。

図2-3に電流波形を示します。図2-3の点線で囲まれた電流オフ時を解析します。

解析結果

渦電流密度のコンター図を、図3-1～図3-7に示します。
　

まとめ

電流オフ直後にはアルミ導体表面に渦電流が集中する表皮効果が現れ、時間の経過とともに渦電流が欠陥の存在する深さまで到達し、さらに導体深部へ広がっていく様子を可視化しました。

また、導体内部の構造や傷の存在によって、局所的に渦電流密度が高まる領域が生じることも確認できました。

これらの過渡的な渦電流分布は、パルス渦流探傷（PEC: Pulsed Eddy Current）として非破壊検査に応用されています。

動磁場解析ソフトウェアPHOTO‑EDDYを用いることで、このような過渡的な電磁現象を視覚的に把握していただけます。

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本事例では、架空送電線が発生する電場強度を解析しています。解析対象は、鉄塔間の区間を想定し、電線、地面、および周囲空間としています。概要図を図1-1に示します。

■解析モデルの構成
　・　電線の上方には、2 本の架空地線（OHG、0 V）を配置しています。
　・　下方には地面があり、これも 0 V としています。
　・　図1-1に示す A、B、C の各電線は、それぞれ 120°ずつ位相が異なっています。
　・　A と A‘ は 同位相です。また、B–B’、C–C’ も同様です。
　・　各相は 4 本の電線で構成されています。
　・　2次元電場解析としました。

■電圧条件
　・　各導体の電圧は 500 kV/√3としました。

■使用した解析ソフトウェア
　・周波数応答電場解析ソフトウェア ： PHOTO-VOLTjω

参考文献[1]
S. Tupsie, A. Isaramongkolrak, P. Pao-la-or,
“Analysis of Electromagnetic Field Effects Using FEM for Transmission Lines Transposition”,
International Journal of Electrical, Electronic and Communication Sciences, Vol:3, No:5, 2009

解析条件

有限要素法を使用して解析を行いますので、電線以外にも空気領域のメッシュも必要になります。
図２－１および図２－２にメッシュ分割図を示します。

図２－３に、各導体の電位条件を示します。

解析結果

周波数応答電場解析によって、解析しているため、解析結果は、複素数(実部、虚部)で表示されます。
図３－1～図３－３に電位分布の解析結果を示します。

図３－４～図３－６に、電場分布の解析結果を示します。

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図1-1のように鉄板で構成された構造物にコイルを配置します。
コイルに直流電流を流したときに、鉄板内部に流れる平均の磁束密度を解析しました。
本例題の解析内容はTeam Problem13※を参考にしています。
公開されているTeam　Ploblem13の測定値と弊社ソフトを使用した解析結果を比較しました。

使用したソフトウェア ： PHOTO-MAG

※https://www.compumag.org/wp/

解析条件

解析モデルは、対称性を利用して、1/2モデルとしました。
図2-1にメッシュ分割図を示します。

1/2モデルにすることで、出現したモデル断面に反対称境界条件を設定しました。

コイルは外場コイルを使用し、電流値は1000[AT]です。

静磁場解析のため、磁気特性のみ入力しました。

鉄板のBHカーブを図2-5に示します。

本事例では、各鉄板の長手方向に沿って平均の磁束密度を計算しました。

解析結果

磁束密度の分布図を示します。

図2-6のグラフラインにおけるグラフを示します。
平均の磁束密度は、板の断面に流れる磁束を断面積で割った値です。

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図１のような直方体空洞共振器をTE101モードで共振させたときの電磁場解析を実施します。得られた解析結果から求めたQ値を理論解と比較しました。

共振器の内壁で発生する損失を解析するために、共振器の解析モデルの表面にプレート要素を作成しています。このプレート要素には電気伝導率3.5e7[S/m]を設定しました。
共振器内のエネルギーと内壁の損失からQ値を求めました。
共振周波数：2.20651GHz
使用したソフトウェア：PHOTO-WAVEjω
参考文献※ 詳解 例題・演習マイクロ波回路
倉石 源三郎著 電機大出版局

解析結果

電場(絶対値)および磁束密度(絶対値)のコンター図を示します。

Q値の評価

●解析結果
共振器内のエネルギーおよび損失の解析結果から、式(1)※を使用して、Q値を求めました。

ここで、f0は共振周波数です。
蓄積エネルギーと損失はWAVEjωによる結果を使用します。
●理論解
直方体空洞共振器のQ値は式(2)※から求めました。

ここで、δおよびλ0は、それぞれ、表皮厚さおよび共振周波数における波長です。
表1に解析結果と理論解を示します。

このように、電磁波解析ソフトウェアPHOTO-WAVEjωを使用して得られたQ値と理論解は良好に一致しました。

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アプリケータからの反射を抑える目的で、EHチューナが利用されています。
EHチューナは図1のように、H面分岐とE面分岐から構成され、主となる導波管に接続されています。この分岐した導波管の終端は短絡しています。分岐した導波管の長さＬe、Lhを調節することにより、反射波を抑えることができます。
本事例では、EHチューナを使用することで、反射波を抑えることができるか、シミュレーションで検証します。
周波数：5GHz
解析モジュール：PHOTO-WAVEjω

解析条件

[解析1]アプリケータによる反射を想定して、主となる導波管の出口において、インピーダンスを不整合させ、反射波を生じさせます。
次に、[解析2]この導波管にEHチューナを挿入します。（初期値：Le=40mm、Lh=40mm)
それから、[解析3]反射波を抑えるように、LeとLhを調節します。
反射率はポートのS11(絶対値)を用いて評価します。

解析結果

[解析1]の結果
図2は、出口側の境界面においてインピーダンスを不整合させたときの電場(絶対値)のコンター図です。
反射率の計算結果は、S11(abs)=0.502です。この導波管にEHチューナを接続します。

[解析2]の結果
図3は、EHチューナを接続したときの、電場(絶対値)のコンター図です。
反射率の計算結果は、S11(abs)＝0.735です。
初期値のLe=40mm、Lh＝40ｍｍの場合、反射率が大きくなっています。
次の解析3で、LeとLhを調整します。

[解析3]の結果
図4はLe＝25.90ｍｍ、Ｌｈ＝43.43ｍｍとしたときの電場(絶対値)のコンター図です。
このときの反射率の計算結果は、S11（abs)=0.0096です。
このように、Le、Lhを調整することにより、反射率を50%(解析1)から0.96％(解析3)まで抑えられることが確認できました。

図4．電場[V/m](絶対値) EHチューナを接続Le、Lh調整後

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空洞共振器の共振周波数と共振モードを求めるために電磁場解析を行いました。今回の事例では、直方体空洞共振器をモデルにして、固有値解析を行い共振周波数と共振モード（電界、磁界のパターン）を求めます。
　　　　　　解析タイプ ： 3次元線形電磁界解析
　　　　　　解析モジュール：PHOTO-WAVEjω

★参考文献
中島将光「マイクロ波工学 基礎と原理」森北出版，pp.141－144（1975）

解析条件

図 2-1 にPHOTO-WAVEjω（有限要素法）のメッシュ図（XY平面）を示します。
外面は６面とも電極、内部は空気（比誘電率＝1， 比透磁率=1）で構成されています。

図 2-2 にPHOTO-WAVEjω（有限要素法）のメッシュ図（斜視図）を示します。
固有値解析を行い、共振周波数と共振モードを求めます。
共振周波数の低い順番に１０個の共振周波数と共振モードを求めました。

解析結果

表 ３-1に共振モード１～共振モード10の共振周波数の解析結果を示します。

図3-1～図3-20に共振モード１～共振モード10の解析結果を示します。
なお、電界（実部）と磁界(虚部）は0です。

有限要素法と理論値の比較

表4-1に共振周波数の解析結果と理論値の比較を示します。共振周波数は精度よく解析できています。

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巻回型コンデンサは、電極箔と誘電体を交互に重ねて巻き込んだ構造をしており、小型化をしつつ電極の面積を大きくしているのが特徴です。
PHOTO-VOLTBM では空気メッシュが不要なので、プログラムによるメッシュ変形と併用して複雑な形状のモデルを容易に作成することが可能です。
本事例では、巻回型コンデンサの電界解析を行います。
また、解析結果として得られたキャパシタンスと理論値の比較を行います。
なお、簡単のため、誘電体の比誘電率は $\varepsilon_r = 1.0$ （空気と同じ）としました。
　　　　　　解析モジュール：PHOTO-VOLTBM

解析条件

コンデンサの XY 平面における形状は、アルキメデスの螺旋 $r=a\theta$ （陰極）・$r=a(\theta + \pi )$ （陽極） に従うとします ( $a=\frac{1}{\pi} \times 10^{-3} \; [\mathrm{m}], \; 2{\pi}\;{\leq}\;{\theta}\;{\leq}\;32{\pi}$ )。
また、電極の厚みと高さはそれぞれ 0.1 mm・60 mm とします。
また、陰極には 0 V・陽極には 1 V の荷重条件を課しています。

解析結果

※図 3-1 及び図 3-2 で示された物理量 FLUX Q_n の定義は $Q_n = {\nabla}_{n}\phi$ であり、電場の向きと逆符号です。

考 察

巻回型コンデンサを平行平板コンデンサに近似して陰極のキャパシタンスを理論的に求め、解析結果と比較します。
アルキメデスの螺旋の長さは以下の式で表されます。
\begin{equation}
L=\int \sqrt{r^2+ \left( \frac{dr}{d\theta} \right) ^2} d\theta = a\int \sqrt{{\theta}^2+1} \; d\theta
\end{equation}
したがって、陰極の長さを $L_1$ とすると、
\begin{equation}
L_1 = a \int_{2\pi}^{32\pi}\sqrt{{\theta}^{2} + 1} \; d\theta \simeq 1.603 \; [\mathrm{m}]
\end{equation}
となります。
よって、陰極の片側の面積を $S_1$ とすると、
\begin{equation}
S_1 = L_1 \times 6.0 \times 10^{-2} = 9.618 \times 10^{-2} \; [\mathrm{m}^2]
\end{equation}
となります。
陰極の外側の面はすべて陽極の内側の面と隣接していますが、陰極の内側の面の $2{\pi}\;{\leq}\;{\theta}\;{\leq}\;4{\pi}$ の部分は陽極の外側と隣接していません。
したがって、陰極の内側の面のうち陽極の外側と隣接している部分の長さと面積をそれぞれ $L_2, S_2$ とすると、以下のようになります。
\begin{align}
L_2 &= a \int_{4\pi}^{32\pi}\sqrt{{\theta}^{2} + 1} \; d\theta \simeq 1.584 \; [\mathrm{m}] \\
S_2 &= L_2 \times 6.0 \times 10^{-2} = 9.504 \times 10^{-2} \; [\mathrm{m}^2]
\end{align}
陰極-陽極間の距離は $d = 9.0 \times 10^{-4} [\mathrm{m}]$ なので、平行平板コンデンサに近似すると陰極の静電容量 $C$ は、
\begin{equation}
C = -\frac{\varepsilon_0 \left( S_1 + S_2 \right)}{d} \simeq 1.88 \times 10^{-9} \; [\mathrm{F}]
\end{equation}
と求めることができます。
一方、PHOTO-VOLTBM では物性ごとに表面の総電荷量を計算し、チェックファイルに記録します。
チェックファイルには以下のように書き出されます。

**************************** Surface charge ****************************
No.1 cathode -1.90072e-009 [C]
No.2 anode 1.90422e-009 [C]

チェックファイルに記録された陰極の電荷量は $-1.90 \times 10^{-9} \; \mathrm{C}$ です。
今回の解析では、陽極と陰極の電位差は 1 V なので、PHOTO-VOLTBM で解析を行った陰極のキャパシタンスは $-1.90 \times 10^{-9} \; \mathrm{F}$ です。
理論値との誤差は 1.1% です。

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PHOTO-MAGTZ では空気メッシュを必要としません。
そのため、複雑な形状のモデルを容易に作成することができます。
また、コイルに電流値を入力することで、複雑な形状のコイルの電流密度の入力を簡略化することができます。
本事例では、様々なモデルの静磁界解析を紹介します。
　　　　　　解析モジュール：PHOTO-MAGTZ

解析結果

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レーダー等の信号処理に用いられる T 字型の導波管に対して、それぞれのポートから入力された電磁波がどのような分布になるか、有限要素法による解析を行いました。
また、解析結果から散乱行列を求めました。
　　　　　　解析モジュール：PHOTO-WAVEjω

解析条件

図 2-1 のような E 面 T 分岐導波管に 3 つのポートを設定します。ポート面にはインピーダンス境界条件を設定し、反射が起こらないようにします。
対称性から 1/2 モデルで作成するので XY 平面上は自然境界、それ以外の側面には対称境界条件を付します。
入力波形は TE₁₀ モードとし、電場の最大値は表 2-2 に従います。
　　　　　　周波数：3.00 GHz

解析結果

E 面 T 分岐導波管は可逆回路とみなせるので、理論上 S_ij=S_ji となります。
計算で求められた S₃₁ と S₁₃ の絶対値はそれぞれ 0.644 と 0.631 であり、その誤差は 2.0% でした。

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方形導波管にポリエチレン等の誘電体を充てんすると空気との境界面で電磁波の反射が起こります。
本事例では、規格 WRJ-5 の方形導波管の一部にポリエチレンが充てんされている系を考え、電磁波の分布を有限要素法を用いて解析します。
また、解析結果として得られた反射係数について理論値との比較を行います。
　　　　　　解析モジュール：PHOTO-WAVEjω

解析条件

空気側のポート（ポート1）から電場の最大値が 1 V/m になるような TE₁₀ モードの電場を荷重条件として設定します。
空気・ポリエチレンの側面には全て対称境界条件を、電磁波が出力される面にはインピーダンス境界条件を設定します。
周波数：5.00 GHz

解析結果

ポリエチレン側の電場の絶対値が一定であることから、出力面で反射が起きていない（インピーダンス境界が正しく設定されている）ことがわかります。

散乱行列の計算において、空気およびポリエチレンの特性インピーダンスを Z_Air = 279.052 Ω・Z_PE = 156.987 Ω としました。

考察

参考文献 [1] で示されている理論解との比較を行います。
TE 波のインピーダンスは
\begin{equation}
Z_{TE}=\frac{j\omega\mu}{\gamma}
\end{equation}
で与えられます。したがって、空気とポリエチレンの特性インピーダンスの比は
\begin{equation}
\frac{Z_{PE}}{Z_{Air}}=0.5628
\end{equation}
となります。よって、空気とポリエチレンの境界面における反射係数は以下のようになります。
\begin{equation}
|\Gamma|=|\frac{Z_{PE}-Z_{Air}}{Z_{PE}+Z_{Air}}|=0.280
\end{equation}
解析で得られた S₁₁ の値 0.275 と理論値の誤差は 1.80% となります。
有限要素法での解析が理論とよく一致していることがわかります。
★参考文献
[1] 倉石源三郎『例題・演習　マイクロ波回路』（東京電機大学出版局、1983）

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