図1-1のように鉄板で構成された構造物にコイルを配置します。
コイルに直流電流を流したときに、鉄板内部に流れる平均の磁束密度を解析しました。
本例題の解析内容はTeam Problem13※を参考にしています。
公開されているTeam　Ploblem13の測定値と弊社ソフトを使用した解析結果を比較しました。

使用したソフトウェア ： PHOTO-MAG

※https://www.compumag.org/wp/

解析条件

解析モデルは、対称性を利用して、1/2モデルとしました。
図2-1にメッシュ分割図を示します。

1/2モデルにすることで、出現したモデル断面に反対称境界条件を設定しました。

コイルは外場コイルを使用し、電流値は1000[AT]です。

静磁場解析のため、磁気特性のみ入力しました。

鉄板のBHカーブを図2-5に示します。

本事例では、各鉄板の長手方向に沿って平均の磁束密度を計算しました。

解析結果

磁束密度の分布図を示します。

図2-6のグラフラインにおけるグラフを示します。
平均の磁束密度は、板の断面に流れる磁束を断面積で割った値です。

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PHOTO-MAGTZ では空気メッシュを必要としません。
そのため、複雑な形状のモデルを容易に作成することができます。
また、コイルに電流値を入力することで、複雑な形状のコイルの電流密度の入力を簡略化することができます。
本事例では、様々なモデルの静磁界解析を紹介します。
　　　　　　解析モジュール：PHOTO-MAGTZ

解析結果

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ヒステリシス解析機能を使用し、高い保磁力を有する磁石の着磁解析を行いました。
円柱状の磁石をコイルで着磁します。電流は0[A]から増加させ、最大値に到達したら、0[A]に戻します。その時の空間の磁場を解析しました。
解析タイプ：3次元非線形磁界解析（形状の対称性より1／4モデルとしました）
保磁力の小さい軟磁性体にヒステリシス解析を適用した事例はこちらをご覧ください。
　＞＞ヒステリシスを考慮した磁界シミュレーション

図１−１に解析モデルの概要図を示します。

　　　　　　　　　　　　　　図１−１．概要図
ヒステリシス解析機能はヒステリシスループを表現する方法として、
　 １．メジャーループを使用する方法
　 ２．双曲線関数近似
から選択できます。
本事例では「２．双曲線関数近似」を使用しました。
双曲線関数近似は、保磁力、残留磁化及び飽和磁化が入力値となり、これらの数値と双曲線関数でヒステリシスループを決定します。ちなみに、「１．メジャーループを使用する方法」は実際の測定値からヒステリシスループを再現させたいときに有効です。
　　　　　　使用ソフトウェア：PHOTO-MAG

解析条件

　　　　　　　　　　　図２−１．メッシュ分割図(全体)

　　　　　　　図２−２．メッシュ分割図(解析対象：空気は非表示)

　　　　　　　　　　　表２−１．ヒステリシス特性

　　　
　 　　　　　　　　　　　　●電流値：8000[AT]　

　　　　　　　　　　　　　　　図２−３．電流波形

解析結果

電流が0となった最終ステップの磁石内の磁束密度分布を示します。

　　　　　　　　　　図３−１．磁束密度[T] コンター図

　　　　　　　　　　図３−２．磁束密度[T] ベクトル図
電流が0となった最終ステップの磁石内の磁化分布を示します。

　　　　　　　　　　　図３−３．磁化[A/m] コンター図

　　　　　　　　　　　図３−４．磁化[A/m] ベクトル図
電流が0となった最終ステップの空間の磁束密度分布を示します。

　　　　　　　　　　図３−５．磁束密度[T] コンター図

　　　　　　　　　　図３−６．磁束密度[T] ベクトル図
原点付近の要素に着目し、図3―8、図3―9にヒステリシスループの解析結果を示します。双曲線関数で近似されたメジャーループと解析結果を重ねてグラフ化しています。

　　　　　　　　　　　　　　　図３−７．メッシュ図

　　　　　　　　　　図３−８．磁場の強さHと磁束密度B

　　　　　　　　　　図３−９．磁場の強さHと磁化M

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IPMモータはロータに磁石を埋め込んだ構造しており、マグネットトルクの他にリラクタンストルクも利用できるため、高効率なモータとして、広く使われています。
今回、無負荷状態における誘起電圧、負荷状態のトルク波形を解析致しましたので、ご紹介致します。電気学会調査専門委員会IPMモータのベンチマークモデル(D1)を参考に致しました。本ベンチマークモデルでは集中巻のステータが採用されています。
解析タイプ：２次元非線形磁界解析
図１−１にIPMモータの概要図を示します。

　　　　　　　　　　　　　　図１−１．概要図
　　　　　　使用ソフトウェア：PHOTO-MAG

解析条件

メッシュ分割図を図２−１に示します。

　　　　　　　　　　　図２−１．メッシュ分割図
磁石は磁化ベクトルで入力し、コイルの電流は電流密度で入力しました。
電流密度には３相交流の波形の時刻点列が設定されています。
ロータを構成する節点には回転速度を設定することにより、回転を考慮します。
ロータの回転によって、生じるスライド面のメッシュは不連続となっていて、回転によって、要素が壊れることを防いでいます。それに伴って、分離された状態となっているロータ側とステータ側の節点の関連付けが必要になります。これに関しては、不連続面をスライドインターフェイスにて接合させることにより、解決されます。
電磁鋼板は35A300相当のB-H曲線を用いています。ロータ・ステータ共通です。

解析結果

　　　　　　　図３−１．磁束密度[T] コンター図 (負荷時)

　　　　　　　図３−２．磁束線図 アニメーション(負荷時)

　　　　　　　図３−３．トルク波形 (負荷時)

　　　　　　図３−４．無負荷時のU-V相間 誘起電圧[V]

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本ページでは磁気シールドの磁場解析の事例をご紹介致します。シールドの外側にコイルを配置し、内部の磁場を計算します。
解析モデルは電気学会調査専門委員会にて提案されている「Box shield model」[1]を使用しました。コイルは外場コイルを使用致しました。解析モデルは対称性から1／8モデルとしました。
解析タイプは非線形静磁場解析です。渦電流は考慮されていません。

　　　　　　　　図１−１．概要図　表示用のカットモデル

　　　　　　　　図１−２．メッシュ図 全体
図１−３に1／8モデルの磁気シールドと上側のコイルのメッシュ分割図を示します。

　　　　　　　　図１−３．メッシュ図 磁気シールドとコイル
コイルは外場コイルでモデル化しました。磁気シールドは1／8モデルですが、外場コイルは1／1モデルにする必要あります。

　　　　　　　　図１−４．電流値
今回使用致しましたss400のB-H特性を図１−５に示します。

　　　　　　　　図１−５．非線形特性(ss400) 文献[1]
　　　　　　使用ソフトウェア：PHOTO-MAG

解析結果

　　　　　　　　　　　　　図２−１．磁束密度[T] コンター図

　　　　　　　　　　　図２−２．磁束密度[T] ベクトル図

　　　　　　　　図２−３．グラフ 位置と磁束密度[T] Z成分

参考文献

[1]「実規模電磁界解析のための数値計算技術」第1129号 2008年9月 電気学会技術報告

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コンピュータや解析技術の進歩により、磁場解析が設計や開発現場で広く利用されています。
磁場解析で使用する物性値として、磁性体の磁化特性がありますが、線形(比透磁率)や非線形(B-H曲線)の利用が多いと思われます。線形は比透磁率を数値で入力し、非線形はB-H曲線を磁束密度(B)と磁場の強さ(H)の点列で入力します。
ここで、非線形で使用するB-H曲線はヒステリシスを含みません。初期磁化曲線を点列で使用することになります。保磁力が小さければ、良い近似と考えられます。つまり、H=0のときに残留している磁化は小さいと考えます。従って、Hを大きくした後、今度はHを小さくしても同じ経路をたどります。実際はヒステリシスがありますが、考慮しなくても、概ね良好な結果が得られています。ヒステリシス損の計算も必要とされていますが、ヒステリシスを考慮していないB-H点列を使用した非線形計算を基に、経験式を使用した後処理によって求める方法が利用されています。

　　　　　　図１−１．磁気特性の模式図

一方で、保磁力が大きい場合は、図１−２のように、H=0のときも大きい磁化が存在するので、無視することはできません。

　　図１−２．磁気特性の模式図(保磁力が大きい場合)

また、保磁力が小さい軟磁性体において、小さいながらも残留する磁化を問題にする場合や、特に、ヒステリシスに起因する損失、いわゆるヒステリシス損を厳密に評価するためには、ヒステリシス現象を数値計算に適用するためのモデル化が必要になります。
これまでにヒステリシスのモデル化は数学的モデルで利用されていますが、ヒステリシス曲線の表現力やベクトル化(磁気異方性)を考えますと、まだ不十分です。ミクロな領域で計算する手法もありますが、電気機器のようなマクロな対象に適用することは計算量の観点からしても、実用的ではないと考えられます。磁場解析が開発されてから３０年近く経ちますが、通常の非線形計算に比べるとヒステリシスを考慮したシミュレーションはハードルが高いといえます。
弊社が開発した「自由エネルギーを用いたヒステリシスモデル」は熱力学的考察によって得られた磁性体の自由エネルギーと磁壁の移動を摩擦モデルとして、取り込んだ手法で、数学的モデルではなく、物理学に即したものです。
ここでは、詳しい原理を省略しますが、ご興味のある方はご連絡ください。
理論をまとめた資料(電気学会研究会資料)を送付させて頂きます。
計算速度を考えますと、連立方程式の解法であるICCG法や非線形計算のニュートンラフソン法のように、これまでに実績のある手法を利用したいところです。さらに、ヒステリシスを考慮しない通常の非線形計算と計算ボリュームが同程度あることが望ましいです。
「自由エネルギーを用いたヒステリシスモデル」はICCG法やニュートランラフソン法がそのまま利用でき、マイナーループを含めたヒステリシス曲線の表現力向上、ベクトル化(磁気異方性)に対応できる手法です。
ヒステリシスの解析では入力データの用意が大変と思われがちですが、本機能はメジャーループの点列を使用するだけで、マイナーループも表現でき、異方性を考慮する場合は３方向のメジャーループのデータを用意すれば解析できるなど、入力方法もシンプルで、使い勝手の良い手法です。
以下に、本手法を利用した計算例をご紹介致します。

使用ソフトウェア：PHOTO-MAG

解析事例1

数式で表現できるヒステリシス曲線をシミュレーションで再現できるかどうか確認します。
一成分に着目して解析を行いました。
解析モデルを図２−１に示します。Z方向の磁場のみ存在できる簡易モデルです。

　　　　　　　　　　　　　図２−１．FEM解析モデル

　　図２−２． 数式で表現したヒステリシス曲線をシミュレーションにより再現

「シミュレーション」はFEM解析で得られた磁化Mと磁場の強さHを示します。
良好な結果が得られています。

解析事例2

回転磁場におけるヒステリシスの挙動を調べます。
検証モデルを図３−１に示します。電気学会調査専門委員会で提案された田形コアモデルを使用しました。

　　　　　　　　　　　図３−１．田形コアモデル

田形コアの中心で磁場が回転するようにコイルの電流を設定しました。

また磁性材料はSPCCを使用しています。メジャーループの数値データのみを使用し、等方性としました。
図３−２と図３−３に磁束密度ベクトルの例を示します。中心部分を見てみますと、図３−２では右向きだったベクトルが図３−３ では反時計周りに回転していることがわかります。

　　　　　　　　　　図３−２．磁束密度[T]ベクトル図の例

　　　　　　　　　　図３−３．磁束密度[T]ベクトル図の例

このようにして、磁場を回転させ、磁束密度と磁場の強さの軌跡を評価します。
コア中心の要素に着目し、図３−４に磁場の強さの軌跡を示します。横軸は磁場の強さHのx成分、縦軸を磁場の強さのy成分としています。

　　　　図３−４．ヒステリシスを考慮したときの磁場の強さの軌跡

同様にして、図３−５に磁束密度の軌跡を示します。横軸は磁束密度のx成分、縦軸は磁束密度のy成分です。

　　　　図３−５．ヒステリシスを考慮したときの磁束密度の軌跡

図３−４と図３−５から磁束密度と磁場の強さの位相がずれていることからヒステリシスが表現されていることがわかります。さらに、磁束密度ベクトルと磁場の強さのベクトルとの位相に着目したグラフを図３−６に示します。

　　　　　　　　　　　図３−６．位相角[度]

次にヒステリシス損を図３−７に示します。以下に示す損失は実際にヒステリシスループの積分することによって、計算しています。

　　　　　　　　　　　図３−７．ヒステリシス損

各時刻ステップのヒステリシス損分布が得られます。
ヒステリシス損のアニメーションを図３−８に示します。

　　　　　　　　図３−８．ヒステリシス損[W/m^3]分布 アニメーション

●最後に
本解析事例では「自由エネルギーを用いたヒステリシスモデル」をご紹介致しました。
ヒステリシスを考慮した磁場解析にご興味ある方、是非お問い合わせください。

参考文献

　池田文昭：「自由エネルギーを使ったヒステリシスモデル」,
　電気学会静止器・回転機合同研究会資料,SA-13-70,RM-13-84(2013)

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概 要

磁石やコイルが作る磁場を解析する場合を順問題と言います。
一方で、磁場分布から磁化や電流を求める問題を逆問題と言います。
測定データを使って、逆問題により推定された磁化や電流密度から異なる位置での磁場分布を計算することができます。

一般的な磁場解析では磁化や電流密度を与えることによって、ある位置における磁束密度を解析することができます。(順問題)
逆問題が可能であれば、予め実験によって測定された磁束密度データから、磁石内部に存在する磁化分布を推定し、測定位置とは異なる場所の磁束密度を計算することできます。
これは初期条件として、磁化や電流密度を与えることなく、解析できることになります。
今回は、プラスチック磁石表面の磁束密度の数値データから、磁石内部の磁化を推定し、その磁化が作る磁束密度を解析する事例(逆問題)をご紹介致します。
便宜的に、順問題によって得られた磁束密度から磁化を推定し、別の位置における磁束密度を計算します。
順問題の結果を使用しますので、順問題と逆問題の解析結果を比較し、逆問題の解析機能の妥当性を評価できます。
　　　　　　使用ソフトウェア：PHOTO-MAGTZ

解析結果

●順問題
初めに図１－２に示すような磁化分布の磁石が作る磁束密度を解析します(順問題)。
磁石表面から1mm離れた位置における磁束密度を計算します。
磁石及び計算点のメッシュ分割を図１－１に示します。

　　　　　　　　　　　図１－１．磁石の要素分割と計算点

　　　　　　　　　　　　　図１－２．磁石内部の磁化分布[A/m]

　　　　　図１－３．磁石の表面から1mm離れた位置における磁束密度分布[T]
●逆問題
次に先の順問題で得られた磁石表面から1mm離れた位置における磁束密度の結果(図１－３)から磁化分布を推定し、同じ位置における磁束密度を再現します。

　　　　　　　　　　　　図２－１．推定された磁化分布[A/m]
　　

　　　　　図２－２．磁石の表面から1mm離れた位置における磁束密度分布[T]
磁化分布を推定するために使用した磁束密度(図１－３．順問題)と推定された磁化分布から計算された磁束密度(図２－２．逆問題)の動径方向成分について着目したグラフを図２－３に示します。

　　　　　図２－３．動径方向の磁束密度比較(逆問題と順問題)
良好な結果を示していることがわかります。
ここで、順問題と逆問題で磁石表面から1mm離れた位置における磁束密度は概ね一致していますが、順問題で入力条件としての磁化分布(図１－２)と逆問題で推定された磁化分布(図２－１)が異なります。
つまり、同じ磁束密度を示す磁化分布が複数存在しています。実は磁化分布に任意性が存在していることを意味しています。
しかし、図２－３に示すように、磁石外側の磁束密度を良く再現できていますので、空間の磁束密度を評価したい場合は磁化分布の一意性は問題ありません。
●さらに
磁石の表面から1mm離れた位置における磁束密度の数値データ(図１－３)を使用して、磁化を推定し、磁石の表面から10mm離れた位置での磁束密度の結果も示します。

　　　　　　　　　　　　　　図３－１．計算点の位置

　　　　　　　　　　図３－２．逆問題から得られた磁束密度分布[T]

　　　　図３－３．磁化を入力条件とした場合の磁束密度分布[T] (順問題、参照用)
図３－２と図３－３の磁束密度の動径方向成分に着目したグラフを図３－４に示します。

　　　　　図３－４．順問題と逆問題の動径方向の磁束密度比較
こちらも、良好な結果が得られています。
●おまけ
面白いことに、磁石の要素を極端に粗くしても、良い結果が得られます。

　　　　　　　　　　　　　　図４－１．磁石の要素分割

　　　　　　　　　　　　　図４－２．推定された磁化分布[A/m]

　　図４－３．逆問題から得られた磁束密度分布[T](図３－３と比較してください)

　　　　　　図４－４．順問題と逆問題の動径方向の磁束密度比較
●最後に
今回の解析事例では順問題で得られた磁束密度の数値データから磁化分布を推定しましたが、磁化分布が不明で測定データのみ入手できる場合にこの逆問題による手法が有効です。
また逆問題で推定された磁化分布を持つ磁石をモータのロータに組み込んで、解析することも可能となります。

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解析対象は下図に示されるアクチュエータです。

磁石と磁性体で構成された駆動子を軸方向に⊿z[mm]ずらした際に駆動子と固定子間に生じる力の解析を行います。
並進運動の解析にはスライドインターフェース機能を使用します。
　　　　　　使用ソフトウェア：PHOTO-MAG

解析結果の例

下のグラフは駆動子の位置を軸方向に変化させた際、駆動子と固定子間にかかる軸方向の電磁力を示します。

“Maxwell”はマクセルの応力法による力、”Nodal”は節点力法による力です。
また、下の図は、磁束密度のアニメーションです。

軸方向の移動に伴い、磁束密度の変化の様子が見られます。

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解析対象は下図のようなクローポール形モータです。

下の二つの図に見るように、ロータ部位とステータ部位に分かれ、各々が図のような構造をしています。
予め着磁解析により求まった永久磁石の磁化を取り込み、無負荷状態でロータを回転させ、トルク解析を行います。
回転を伴う解析ですが、PHOTON独自開発の新スライドインターフェースを使用し、ギャップ（ロータとステータ間の隙間）の空気メッシュの再生成なしに解析可能です。

使用ソフトウェア：PHOTO-MAG

解析結果の例

下図は、磁束密度分布のアニメーションです。

ステータの磁気回路の変化をみることができます。
また、下の図は、各回転角におけるコギングトルクの結果です。
“Nodal”は節点力法によるトルク、”Maxwell”はマクスウェルの応力法によるトルクです。

参考文献
最新有限要素法による電気・電子機器のCAE
　　伊藤昭吉、河瀬順洋共著（森北出版株式会社）

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