曲線座標 4-3. 具体的な曲線座標系(球面座標系)

  半径 R の球の表面である2次元空間を考える。球面上の座標(θ,φ)は球の中心に原点を持つ3次元のデカルト座標と次の関係がある。
この式を微分して次の関係が得られる。
ここで、
これより、
となるので計量テンソルは次のようになる。
v の物理成分を(Vθ ,Vφ)とおけば、
の関係がある。これより(3−5)式を計算するとゼロでない成分は次のようになる。
これから共変微分を計算すると次のようになる。
スカラー場に関して、
ベクトル場に関して、
である。これより次の関係が得られる。
ベクトルの発散は、
スカラー場のラプラシアンは次のようになる。