曲線座標 4-2. 具体的な曲線座標系(極座標系)

  極座標はデカルト座標と次の関係がある。
この式を微分して次の関係が得られる。
ここで、
とおくと(5−15)式より次の式が成立する。
これより、
となるので計量テンソルは次のようになる。
v の物理成分を(Vr ,Vθ ,Vφ)とおけば、
の関係がある。これより(3−5)式を計算するとゼロでない成分は次のようになる。
これから共変微分を計算すると次のようになる。
スカラー場に関して、
ベクトル場に関して、
である。これより次の関係が得られる。
ベクトルの発散は、
ベクトルの回転は、
となる。物理成分でかくと次のようになる。
スカラー場のラプラシアンは次のようになる。