曲線座標 4-1. 具体的な曲線座標系(円筒座標系)

  円筒座標はデカルト座標と次の関係がある。
この式を微分して次の関係が得られる。
ここで、
とおくと(4−2)式より次の式が成立する。
これより、
となるので計量テンソルは次のようになる。
v の物理成分を(Vr,Vθ,Vz)とおけば、
の関係がある。これより(3−5)式を計算するとゼロでない成分は次のようになる。
これから共変微分を計算すると次のようになる。
スカラー場に関して、
ベクトル場に関して、
である。これより次の関係が得られる。
ベクトルの発散は、
次にベクトルの回転を求める。デカルト座標におけるベクトルの回転は次のようにかける。
ここで、Eijk は3階の反変テンソルであり、(i,j,k)が(1,2,3)の偶置換の場合は 1、奇置換の場合は −1 、それ以外はゼロである。このテンソルは一般座標では次のようになる。
これより、eijk は3階の反変テンソルであり、(i,j,k)が(1,2,3)の偶置換の場合は J 、奇置換の場合は −J 、それ以外はゼロである。ただし、J は変換行列の行列式である。
このテンソルの性質を使うと、
となるので一般座標におけるベクトルの回転は次のようになる。
これより、
となる。物理成分でかくと次のようになる。
スカラー場のラプラシアンは次のようになる。