曲線座標 1. デカルト座標と曲線座標

 n 次元空間におけるデカルト座標を、Xii=1,2,・・・,n)、一般の曲線座標を、xi とかき、
という関係にある場合、曲線座標 xi に沿った基底ベクトル ei は次のようにかくことができる。
ただし、X は成分(X1,X2,・・・,Xn)をもつ位置ベクトルである。 ここで e1,e2,・・・,en はそれぞれ直交しているとは限らない。一般的にはこれらのベクトルが一次独立でない場合もあるが、ここでは全ての座標においてこのベクトルの組が独立になるような座標系を考える。
 デカルト座標における座標成分に沿った基底ベクトルを E1,E2,・・・,En とかくと、ベクトル V は、
このベクトルは(1−2)式の ei を使って次のように表すことができる。
このとき v1,v2,・・・,vn をこの座標系におけるベクトル V の反変成分とよぶ。
位置ベクトル X から無限小はなれた距離 XdX に向かうベクトルは(1−1)(1−2)式をより次のようにかける。
この式をみると dxi はベクトル dX の反変成分とみることができる。したがって座標成分も今後(1−4)式のように(X1,X2,・・・,Xn)、(x1,x2,・・・,xn)のように添字を上に付けることにする。新しい表記でこの式は、
となる。
(1−4)式の両辺と ei の内積をとれば次のようになる。
デカルト座標の場合これはベクトルの反変成分と一致するが一般的には反変成分とは一致しない。そこでこれをベクトル V の共変成分と定義する。すなわち、
である。反変成分との関係は上の式から次のようになる。
ベクトル UV の内積は(1−4)式を使うと
となるが、(1−7)式より次のように書ける。
ここで次の関係を満たすベクトル ei を考える。
(1−6)式にこの式を代入すると次のようになる。
この式が常に成り立つには次の関係が成立する必要がある。
ただし δij はクロネッカのデルタである。(1−2)式を使うと
とかける。ただしベクトルでの微分は成分がベクトルの成分による微分を表している。これより(1−10)式が成立することを確かめることが出来る。
デカルト座標では反変成分と共変成分は一致するので、
である。